数学科普，告诉你关于罗素悖论的基本知识以及当今数学前沿最厉害的纲领！

罗素悖论在数学历史上当然有一定意义，例如说明了任意使用集合是会出问题的，从而使得集合论进一步公理化。而现在的罗素悖论在是公理化的数学体系中根本不存在，但经常有人拿这个骗钱卖书，所以有必要科普一番：

康托尔的集合论是没有公理化的，站在公理化的角度，他的论证基本依赖于三个公理： 一、外延公理：集合由它的元素决定，即两个集合元素相同则它们相同。 二、抽象公理：任给一个性质，都有一个满足该性质的客体组成的集合。 三、选择公理：每个集合都有一个选择函数。

这三个公理，其中第一个没有任何问题，而第二个就和所谓的罗素悖论相关。1903年罗素悖论的提出，证明抽象公理不完善的，所以1908年，德国人E.ZERMELO提出“子集公理”或叫“分出公理”替代抽象公理，从而消除了罗素悖论。也就是说，罗素悖论被数学界讨论的时间也就是5年，其后除了搞科普的，骗钱忽悠的，搞数学的根本没人管它，因为它已经一点都不重要。

这三个公理中，最重要的是第三个，选择公理是一个大麻烦，有点类似原来的几何第五公设了，因为它的表述也如同第五公设一样不是那么清楚，所以大家都希望能从其他公理推出它或者用等价的更清楚的公理替代它，有关选择公理的东西，可以写一大本专业的书了，其中涉及数学中最核心问题的讨论，专业数学家如果关心基础研究的，只会去讨论选择公理，而没有人会管什么罗素悖论的。就像哥德巴赫猜想被所有业余人喜欢，而真正专业的，如果真要选择什么难题，大概更关心黎曼猜想，或更专业的朗兰兹纲领（由于法国人那两个猜想都被证明了，所以就不算了）。

当然，如果从罗素悖论能让你对数学了解多一点，进而喜欢数学，开始学习数学，那这是没问题的，如果把罗素悖论拿来忽悠，以为罗素悖论是什么厉害东西，那就有问题了。罗素悖论是一萤火虫，选择公理是一个太阳；哥德巴赫猜想是一萤火虫，朗兰兹纲领是一个太阳。

注：朗兰兹纲领是目前数学前沿的核心问题，现在有关这个纲领的明确表述还没有完全统一，大概可以概括成：一定可以找到某个适当的只依赖于X的环R（X）使得这样的解析函数是n维一般线性群GLn (R（X）)的某个自守表示PI的L-函数L（s,PI)。

这个纲领的威力可以从这里看出：对该纲领中某个特殊部分的某类特殊曲线的某种特殊情形的证明，就解决了费马猜想（具体说就是半稳定的椭圆曲线情况），从这就知道这个纲领是多么雄伟壮丽的东西了。